ścieżka wirów von Karmana


Mechanizm oderwania warstwy przyściennej

Po krótkim, obrazowym wprowadzeniu nasza uwaga będzie skupiona na fizycznym opisie powstawania ścieżki wirowej von Karmana. Jednym ze zjawisk zachodzących w przyrodzie, które biorą udział w kształtowaniu otoczenia, jest mechanizm powstawania gruboskalowych struktur wirowych, które najczęściej generują się za różnego rodzaju opływanymi przeszkodami. Mechanizm powstawania wirów oraz ich rozwój jest ściśle związany z parametrami geometrycznymi jak również parametrami płynu. Aby zrozumieć mechanizm powstawania struktur wirowych należy najpierw poznać proces oderwania warstwy przyściennej płynu od powierzchni opływanego obiektu. Mechanizm ten przedstawiony jest na rysunku 1.


Rys.1. Mechanizm oderwania warstwy przyściennej


Prezentacja pola prędkości na rys.1. została przeprowadzona przy zastosowaniu lokalnego układu współrzędnych (n-s), w którym oś n jest prostopadła do opływanej powierzchni, natomiast oś s jest do niej styczna.


Podczas opływu ciała zmienia się prędkość przepływu wzdłuż zewnętrzenej granicy warstwy przyściennej, czemu towarzyszy odpowiednia zmienność ciśnienia. Na element płynu w warstwie przyściennej działają siły styczne wywołane lepkością (wypadkowa tych sił zwrócona jest przeciwnie do kierunku wektora prędkości) i siły ciśnieniowe (mają one przyśpieszający lub opóźniający charakter, w zależności czy ciśnienie wzdłuż opływanej powierzchni rośnie czy maleje). W przypadku gdy ciśnienie wzrasta wzdłuż opływanej powierzchni wówczas wypadkowa sił stycznych jest skierowana przeciwnie do prędkości przepływu płynu, a ruch w ogólnym przypadku staje się opóźniony. Zgodnie z powyższym, rozkład prędkości w warstwie zmienia się w sposób pokazany na rys.1. Wzrostowi prędkości w kierunku przepływu odpowiada ujemny gradient ciśnienia, podczas gdy spadek prędkości wywołuje wystąpienia gradientu dodatniego. Na przedstawionym rys.1. wyraźnie widać, że linie prądu w przedniej (czołowj) części zakrzywionej powierzchni są bardziej ściśnięte, niż w tylniej części (w dół przepływu). Wynika to bezpośrednio z równania ciągłości (ponieważ prędkość wzrasta linie prądu muszą się zbiegać). Spowodowane jest to tym, że w początkowym obszarze istnieją większe prędkości napływającego czynnika (gradient ciśnienia w tym obszarze jest mniejszy od zera). Opisany schemat kończy się wraz z osiągnięciem przez płyn punktu N. W dalszej części przepływu (poza punktem N) linie prądu rozbiegają się tworząc większy obszar, w którym następuje zmniejszenie prędkości czynnika. Wynika ta wprost z równania ciągłości - wzrost pola przekroju poprzecznego powoduje spadek prędkości. Natomiast z równania Bernoulli`ego (bez strat przepływu) wynika, że zmniejszaniu prędkości towarzyszy wzrost ciśnienia.

W strefie (pomiędzy punktami N oraz O) siły ciśnieniowe działają opóźniająco na płyn znajdujący się w warstwie przyściennej, jest to jednocześnie obszar malejących prędkości. W konsekwencji profile prędkości U=f(n) (w wyniku takiego razkładu prędkości, powstaje zjawisko oderwania warstwy) wykazują obecność punktu przegięcia (O) (prędkość płynu jest równa zeru), który jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla oderwania warstwy przyściennej. Ewolucja pola prędkości w warstwie przyściennej prowadzi w punkcie O do powstania profilu prędkości wykazującego następującą cechę:

Poza punktem maksymalenej depresji na profilu kołowym, wobec stopniowego wzrostu ciśnienia proces zmniejszania energii kinetycznej w warstwie przyściennej doprowadza do całkowitego wyczerpania się tejże energii. W wyniku działania sił lepkości oraz sił tarcia występujących pomiędzy płynem a opływanym obiektem (ciałem) warstwa przyścienna płynu jest wyhamowywana. Bezpośrednio potem formuje się poprzeczny przepłwy w warstwie i następuje tzw. oderwanie strugi od opoływanej powierzchni.

W przekrojach znajduących się w.... przepływ w stosunku do punktu O pojawi się zatem w bezpośredniej bliskości ścianki przepływ zwrotny, zaś punkt ten zwany jest punktem oderwania.

Ciśnienie za punktem oderwania przestaje wzrastać. Ustala się tutaj depresja jaka panowała w miejscu oderwania. Towarzyszy temu zerowa wartość napreżeń stycznych na ściance, a w następnych przekrojach ciała, dodatni gradient ciśnienia powoduje rozwój przepływu powrotnego. Zjawisko to prowadzi w konsekwencji do odsunięcia (rozbiegania) linii prądu od oplywającej powierzchni. Ubytek oderwanej warstwy przyściennej zastąpiony jest płynem o niskiej energii znajdującym się bezpośrednio za ciałem. Połączenie zjawisk napływu płynu zza tylnej części obiektu oraz dalszego przepływu płynu w dół, sił lepkości i wynikających z tego sił tarcia powoduje wystąpienie zjawiska zwrotnej cyrkulacji płynu.



Obraz przepływu w śladzie za walcem w funkcji liczby Reynolds`a


Dla potrzeb analizy obrazu przepływu wokół walca korzysta się z kryterialnej liczby Reynolds`a definiowanej następująco:


(d) średnica opływanego ciała,
(v) współczynnik lepkości kinematycznej,
(U0 ) niezakłócona prędkość czynnika opływającego ciało

Obraz przepływu na tylnej i przedniej części opływanego profilu przedstawia rys.2; na którym punkty O wskazuje początek procesu oderwania warstwy przyściennej. Na poniższych schematach przedstawiono obrazy przepływów dla zmiennej liczby Re.



2 a) Re<2 2 b) Re=(2-40)

przypadek a)
Dla bardzo małych wartości liczb Re<2 siły bezwładności są pomijalnie małe, szczególnie w bezpośrednim sąsiedztwie opływanej powierzchni. Dla tego przypadku siły bezwładności płynu nie są w stanie pokonać sił lepkości, co za tym idzie warstwa przyścienna nie ulega oderwaniu a płyn w sposób laminarny opływa dookoła praktycznie całą przeszkodę. Nie powstaje tutaj punkt oderwania (O), a powstały obraz przypomina przepływ potencjalny rzeczywistego czynnnika.

przypadek b)
Jeżeli wartość liczby Re zawiera się w przedziale (2-40) to bezwładność przepływającego płynu powoduje oderwanie warstwy, które obserwuje się w punktach O. oderwanie warstwy przyściennej (punkty S). Oderwanie warstwy przyściennej pojawia się po obydwu stronach walca prowadząc do powstania dwóch wirów przyklejonych do opływanej powierzchni. Pęd oraz bezwładność przepływającej strugi są na tyle małe aby mogły spowodować oderwanie powstałych wirów, a wygenerowany kształt zawirowań tworzy symetryczny obraz przepływu. Wyraźny obraz powstałych wirów zaobserwować można jedynie wówczas, gdy przepływ ma charakter laminarny.

2 c) Re=(40-105) 2 d) Re>105

przypadek c)
Warstwa przyścienna aż do punkty O ma charakter laminarny. Przepływ taki jest nazywany powszechnie podkrytycznym. W punkcie tym (maksymalnej depresji) obserwuje się oderwanie płynu. Ciągły wzrost liczy Re powoduje, że powstałe wiry powiększają swoje rozmiary, i dla laminarnej warstwy przyściennej występuje wcześniejsze wyczerpanie energii kinetycznej elementów płynu blisko powierzchni opływanego ciała i związane z tym oderwanie. O powstałych wirach można powiedzieć, że odrywają się one okresowo i na przemian, są ukształtowane względem siebie w przeciw fazie (przesunięte są o połowę okresu) i odrywają się to od górnej to od dolnej powierzchni walca. Powstający w takich okolicznościach układ wirów zwany jest ścieżką wirową von Karmana. Wiry te oddalają się od opływanego ciała z prędkością mniejsza od prędkości strumienia napływającego. W trakcie ruchu wiry powiększają swe rozmiary, indukując coraz większe pole przepływu "zabierają" z otoczenia nowe porcje przepływającego czynnika tworząc coraz to większe wiry. Po upływie czasu i przebyciu pewnego dystanstansu wiry te rozmywają się aż do całkowitego zaniku.

przypadek d)
O charakterze przepływu w warstwie przyściennej decyduje liczba Re. Wraz ze wzrostem wartości tej liczby obserwujemy przejście z laminarnej warstwy przyściennej w turbulentną (przed punktem oderwania O). Gdy warstwa prześcienna ma charakter turbulentny, wyczerpanie energii kinetycznej w warstwie przylegającej bezpośrednio do powierzchni ciała opływanego następuje później i punkt oderwania (O) przesuwa się dalej wzdłuż powierzchni opływanego profilu a opływ taki jest nazywany nadkrytycznym. Cześć warstwy, która przylega do powierzchni opływającego ciało jest zasobniejsza w energię kinetyczną. Te zasoby energii są nadto uzupełniane przez elementy płynu o większej energii przenikającej z górnej części warstwy na miejsce elementów o zmniejszonej energii. Powstające wiry mają mniej miejsca na rozwój a ich wyższa turbulencja oraz mniej spójny charakter powodując zakłócanie przepływu. W takich warunkach powstałe wiry są bardziej odporne na oderwanie od opływanej powierzchni a siły ciśnieniowe maleją na znacznie dłuższej drodze (zmiana położenia punktu S), czego rezultatem jest spadek współczynnika oporu (Cx ).

Ścieżka wirowa von Karmana

W wyniku przepływu za ciałem tworzy się wyraźne obszar, tzw. ślad aerodynamiczny. Jest to pole przepływu, charakteryzujący się poprzecznym gradientem prędkości. W miejscu tym zachodzą intensywne procesy mieszania. Obszar cienia aerodynamicznego dla opływu nadkrytycznego jest wówczas znacznie węższy w porównaniu z przepływem podkrytycznym. Krytyczna liczba Reynolds`a (Rewp), przy której występuje przejście laminarno-turbulentne w warstwie przyściennej zawiera się Rewp=(5 .105- 2 .106) i definiowana jest następująco:


(x0 ) dystans od punktu stagnacji,
(U0 ) prędkość przepływu niezakłóconego,
(v) współczynnik lepkości kinematycznej

a zależy od:
intensywność turbulencji w przepływie zewnętrznym ,
- chropowatość powierzchni walca.

W skutek występujących w przepływie zaburzeń powstają wiry, które są unoszone przez zewnętrzny strumień płynu. Wiry generowane są naprzemiennie po obu stronach walca. Kierunki obrotu powstających wirów są niezmienne lecz przeciwne po obu stronach opływanej bryły. Potocznie mechanizm taki nazywany jest ścieżką wirową von Karmana. Spełnienie warunków:


- oderwanie warstwy przyściennej,
- odpowiednia liczba Re,
- właściwości powierzchni walca oraz lepkość czynnika.


pozwala na powstawanie wirów, których schematyczny obraz za opływanym ciałem przedstawiona na rys..

Rys.3.Uproszczony układ wirów za walcem

Należy wziąść pod uwagę, że powsatające wiry zmieniają swe wymiary za opływanym ciałem aż do całkowitego zaniku. Znaki (+) i (-) sygnalizują kierunki "krążenia" wirów. Znaku (+) informuje, że wiry przemieszczają się zgodnie ze wskazówkami zegara. Znak minus reprezentuje przeciwny kierunek ruchu. Natomiast kolory, czerwony i niebieski, obrazują podział strumieni biorących udział w opływaniu powierzchni walca (strumien dolny i górny). Geometria powstającej ścieżki zmienia się w bardzo niewielkich granicach. Cechy takie jak odległość między wirami oraz odległość pomiędzy dwoma rzędami powstających wirów można uogólnić i wynoszą one odpowiednio:

- przesunięcie względem siebie dwóch szeregów wirów jest równe 0.5 L
- odległość pomiędzy szeregami h/L ~ 0.3 

gdzie L reprezentuje długość fali pomiędzy sąsiednimi wirami.

Bardzo ważnym parametrem charakteryzującym ścieżkę wirową von Karmana jest kryterialna liczba Strouhal`a (St), która używana jest do zjawisk okresowych.


Liczba ta wiąże ze sobą częstotliwość powstawania wirów (f), średnicę opływanego cylindra (d) i prędkość przepływu niezakłuconego (U0 ). Liczba ta umożliwia porównywanie lub obliczanie częstotliwości powstawania wirów dla różnych liczb Reynolds`a.

Rys.4. Zależność liczby Strouhal`a od liczby Reynolds`a.

W zdecydowanej większości zastosowań technicznych występuje przepływ turbulentny, więc użyteczne stosowanie tej zależności ma znaczenie dopiero dla Re>103. Analizując wykres można dostrzec, że w obszarze tym wartość jest stała i wynosi około 0.21, więc liczba St nie zależy do liczy Re.